Um den semantischen Abstand zwischen "GELB" und "GRÜN" mathematisch auszudrücken, können verschiedene Modelle und Metriken verwendet werden. Hier sind die wichtigsten Ansätze:

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1. Farbraum-basierte Distanz (Perzeptuelle Ähnlichkeit)

Farben lassen sich in mathematischen Farbmodellen als Vektoren darstellen. Die Distanz zwischen Gelb und Grün kann dann mit euklidischer Distanz oder Delta-E-Metriken berechnet werden, die die menschliche Wahrnehmung berücksichtigen.

Beispiel im CIELAB-Farbraum:

• GELB: Typische Koordinaten z. B. $L^{\ast }=97$, $a^{\ast }=-21$, $b^{\ast }=94$ (helles Gelb).

• GRÜN: Typische Koordinaten z. B. $L^{\ast }=87$, $a^{\ast }=-86$, $b^{\ast }=83$ (sattes Grün).

Die Delta-E-Distanz (ΔE) berechnet sich als:

$$\mathrm{\Delta }E=\sqrt{(L_2-L_1{)}^2+(a_2-a_1{)}^2+(b_2-b_1{)}^2}$$

Einsetzen der Werte:

$$\mathrm{\Delta }E=\sqrt{(87-97{)}^2+(-86-(-21){)}^2+(83-94{)}^2}\approx \sqrt{100+4225+121}\approx 66.5$$

Interpretation: Ein ΔE > 5 gilt als deutlich sichtbarer Unterschied – hier ist die Distanz sehr groß, da die Farben im CIELAB-Raum weit voneinander entfernt sind.

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2. Vektorraummodelle der Semantik (Word Embeddings)

In NLP-Modellen wie Word2Vec oder BERT werden Wörter als Vektoren kodiert. Der semantische Abstand wird dann über die Kosinus-Ähnlichkeit oder euklidische Distanz berechnet.

Formeln:

• Kosinus-Ähnlichkeit:

  $$\ddot{\text{A}}\text{hnlichkeit}=\frac{\vec{v}\cdot \vec{w}}{\mathrm{\parallel }\vec{v}\mathrm{\parallel }\cdot \mathrm{\parallel }\vec{w}\mathrm{\parallel }}$$

  (Werte zwischen -1 und 1; je näher bei 1, desto ähnlicher.)

• Euklidische Distanz:

  $$d(\vec{v},\vec{w})=\sqrt{\sum _{i=1}^n(v_i-w_i{)}^2}$$

Beispiel mit Word2Vec (vereinfacht):

Angenommene Vektoren für "gelb" und "grün" in einem 3D-Raum:

• ${\vec{v}}_{\text{gelb}}=[0.9,-0.2,0.4]$

• ${\vec{w}}_{\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{n}}=[0.3,0.8,-0.5]$

Kosinus-Ähnlichkeit:

$$\frac{(0.9\cdot 0.3)+(-0.2\cdot 0.8)+(0.4\cdot -0.5)}{\sqrt{0.9^2+(-0.2{)}^2+0.4^2}\cdot \sqrt{0.3^2+0.8^2+(-0.5{)}^2}}\approx \frac{0.27-0.16-0.2}{1.0\cdot 1.0}\approx -0.09$$

Interpretation: Die Begriffe sind semantisch kaum verwandt (Ähnlichkeit nahe 0).

Euklidische Distanz: 

(( das war, was mich vorerst besonders interessiert: die euklidische distanz ... , wobei ich seinerzeit diese euklidische distanz für die minimale euklidische perzeptions-differenz nicht bei 1.56 sondern aus bestimmten gründen bei 1,61 festgelegt hatte - nun hat deepseek zu seiner entschuldigung aber mit bestimmten grün- und gelb- tönen berechnet (helles gelb + sattes grün), sodass ich meinen wert 1,61 weiterhin vertreten kann - mein wert 1,61 hat insofern die "nagelprobe" erstmal bestanden !, sodass ich ==> die generell notwendige semantische distanz zwischen zwei perzeptionsereignissen, um die unterscheiden zu können <== , weiterhin bei 1,61 belassen kann ))

$$\sqrt{(0.9-0.3{)}^2+(-0.2-0.8{)}^2+(0.4-(-0.5){)}^2}\approx \sqrt{0.36+1.0+0.81}\approx 1.56$$

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3. Mengentheoretischer Ansatz (Feature Overlap)

Hier werden semantische Merkmale beider Begriffe verglichen. Der Jaccard-Index quantifiziert die Ähnlichkeit:

$$\text{Jaccard-}\ddot{\text{A}}\text{hnlichkeit}=\frac{\mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }A\cup B\mathrm{\mid }}$$$$\text{Jaccard-Distanz}=1-\frac{\mathrm{\mid }A\cap B\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }A\cup B\mathrm{\mid }}$$

Beispiel:

• $A_{\text{GELB}}=\{\text{warm},\text{hell},\text{Sonne},\text{Warning}\}$

• $B_{\text{GR}\ddot{\text{U}}\text{N}}=\{\text{nat}\ddot{\text{u}}\text{rlich},\text{hell},\text{Wachstum},\text{Natur}\}$

• Schnittmenge: $\{\text{hell}\}$

• Vereinigungsmenge: $\{\text{warm},\text{hell},\text{Sonne},\text{Warning},\text{nat}\ddot{\text{u}}\text{rlich},\text{Wachstum},\text{Natur}\}$

$$\text{Jaccard-Distanz}=1-\frac{1}{7}\approx 0.86$$

Interpretation: Hohe Distanz (0 = identisch, 1 = vollständig verschieden).

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4. Taxonomische Distanz (WordNet/Hierarchien)

In semantischen Netzen wie WordNet kann die Distanz über die Pfadlänge im Hyperonym-Baum berechnet werden:

$$\text{Distanz}=\frac{1}{1+\text{Pfadl}\ddot{\text{a}}\text{nge}}$$

• Beispiel:

  • "Gelb" und "Grün" sind beide direkte Hyponyme von "Farbton".

  • Pfadlänge = 2 (Gelb → Farbton ← Grün).

  $$\text{Distanz}=\frac{1}{1+2}\approx 0.33$$

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5. Fazit: Welche Metrik ist relevant?

• Farbwahrnehmung: ΔE ≈ 66.5 (sehr großer Abstand).

• Word Embeddings: Kosinus-Ähnlichkeit ≈ -0.09 (geringe Ähnlichkeit).

• Mengenbasierte Distanz: Jaccard ≈ 0.86 (hohe Distanz).

• Taxonomie: ≈ 0.33 (moderate Distanz).

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Zusammenfassung als Gleichung:

Der semantische Abstand $d_{\text{sem}}$ hängt vom gewählten Modell ab:

$$d_{\text{sem}}(\text{GELB},\text{GR}\ddot{\text{U}}\text{N})=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Delta }E& \text{(Farbraum)}\\ 1-\text{Kosinus-}\ddot{\text{A}}\text{hnlichkeit}& \text{(Word Embeddings)}\\ \text{Jaccard-Distanz}& \text{(Merkmalssets)}\end{array}$$

In der Praxis wird oft eine Kombination von Metriken verwendet, um Kontext (z. B. Design vs. Sprache) zu berücksichtigen. Möchtest du Details zu einem bestimmten Ansatz vertiefen? 🧮