Am 20.05.2025 um 01:01 schrieb Claus Zimmermann über PhilWeb <philweb@lists.philo.at>:

was über das Rechnen mit den natürlichen Zahlen hinaus geht, ist bspw. die Vertauschbarkeit, d.h. dass a + b = b + a für die Addition natürlicher Zahlen gilt.
Das verstehe ich nicht ganz, dass die Vertauschbarkeit für die Addition natürlicher Zahlen gilt, aber über das Rechnen damit hinausgeht. Als Theorieüberschuss über die blosse Praxis hinaus vielleicht?

Moin Claus,

ja, Du kannst es als Theorieüberschuss ansehen, nachdem mit Zahlen nicht nur gerechnet wurde, sondern auch die Rechenregeln bedacht wurden.

Die Null als Ergebnis von b = a in a - b ist ja von Indern eingeführt worden, womit sie dann das geniale Stellenwertsystem entwickelten.
Hätte man ein Stellenwertsystem nicht auch mit 9 einstelligen Zahlen ohne die teuflische Null einführen können?

Es wurde seinerzeit nicht gleich mit dem Stellenwertsystem begonnen, sondern mit dem Dezimalsystem. Und damit folgten die Inder einfach dem weit verbreitenen Zählen mit den Fingern. Das mit dem Dezimalsystem mögliche Rechnen mit sehr großen Zahlen kann geradezu als Effizienzrevolution angesehen werden.

Gerüchteweise wird immer wieder Arabern das Einführen des Rechnens mit der Null zugesprochen, so auch in der populären Serie „Prime Finder“. Ein talentierter Mathematiker findet darin eine Formel zur Primfaktorzerlegung, die das Überwinden von Sicherheitsverfahren ermöglichte. Im Gegensatz zur Addition ist die Multiplikation hinsichtlich ihrer Umkehrung durch die Null nicht abschließbar, vielmehr zeigt sie das Unendliche.
Ab hier wird es für mich fast unverständlich.
Die Umkehrung der Addition, also die Subtraktion ist durch die Null abschliessbar? Vielleicht in dem Sinn, dass die Aufgabe ohne negative Zahlen nicht ausgerechnet werden kann?

Ja, mit abschließbar meine ich Vollständigkeit, d.h. bleiben alle Rechnungen mit den Zahlen im jeweiligen Zahlenbereich. Die ganzen Zahlen sind hinsichtlich Addition abgeschlossen oder vollständig — und bilden eine Gruppe.

Die Umkehrung der Multiplikation, also die Teilung, ist durch die Null nicht abschliessbar? Vielleicht in dem Sinn, dass bei immer fortgesetzter Teilung einer natürlichen Zahl immer kleinere Werte herauskommen, aber nie Null?

Zunächst sprengt die Teilung ja die Ganzzahligkeit, wenn der Nenner größer als der Zähler ist, so dass Brüche eingeführt werden müssen — und eine Division durch Null unbestimmt bleibt. Erst gegen unendlich strebende Grenzwerte nähern die Null an.

Lässt sich damit die Wahrheit oder Falschheit von Aussagen noch eindeutig feststellen? Für Formalisten ja, für Konstruktivisten nein.
Was hat die unendliche Teilbarkeit mit der Wahrheit oder Falschheit von Aussagen zu tun? Ich denke dabei auch nicht an Berechenbarkeit, sondern an inhaltliche Richtigkeit, die im Fall des Satzes "es regnet" etwa durch einen Blick aus dem Fenster und ohne Korrespondenztheorie überprüft wird.

Entspricht „es regnet“ bzw. es gibt Regen nicht der Aussage: es gibt das Aktualunendliche? „Es regnet“ bezieht sich ja auf die Alltagswahrnehmung als Beweis. Auch das Zählen beginnt noch mit sinnlichen Beweisen. Die bleiben aber endlich, so dass darüber hinaus gehende Beweise nicht mehr sinnlich, sondern logisch geführt werden müssen. Und hinsichtlich der Logik des Unendlichen unterscheiden sich ja Formalisten und Konstruktivisten.

Ebenso wie die klass. in die konstr. Logik kann auch die klass. in die Quantenlogik eingebettet werden.
Diese Zeichensysteme kenne ich nicht und glaube kaum, dass ich sie erlernen könnte.

Wenn Du die klassische Logik erlernen konntest, dann wirst Du ebenso die konstruktive und die Quantenlogik erlernen können, wobei letztere auch eine konstruktive ist. Lorenzen hat ja die konstruktive ebenso als dialogische Logik entwickelt, der schon Kinder zu folgen vermögen. Ich denke also, dass Deine Interessen woanders liegen.