17 Dec
2019
17 Dec
'19
3:15 p.m.
Am 17.12.2019 um 02:29 schrieb Claus Zimmermann via
Philweb <philweb(a)lists.philo.at>at>:
> In der Mathematik gibt es ja auch unentscheidbare
Sätze, die dennoch
> sinnvoll sind, sie können als Axiom einem System hinzugefügt werden
> oder eben nicht.
Von Mathematik verstehe ich leider nichts.
Wenn Axiome für gültig erklärt werden, sind sie Beweismittel und nicht zu beweisende
Sätze.
Hi there,
Vielleicht hilft hier ein Beispiel, das auch eine Verbindung mit dem Unendlichen
herstellt, nämlich Cantors Kontinuumshypothese CH:
Cantor (1878): Jede unendliche Menge reeller Zahlen ist entweder abzählbar oder von der
Mächtigkeit der Menge aller reeller Zahlen.
Gödel (1937): Die Kontinuumshypothese wird von ZFC nicht widerlegt.
Cohen (1963): Die Kontinuumshypothese wird von ZFC nicht bewiesen.
Gödel und Cohen: CH wird von ZFC nicht entschieden.
Das ist eine mathematische Wahrheit, die ersichtlich von der Wahl des Axiomensystems
abhängt, wobei nicht einmal die Hinzunahme des problematischen Auswahlaxioms C zu denen
Zermelo-Fraenkels ZF eine Entscheidbarkeit herbeiführt. Ähnlich wie es Mengenlehren mit
und ohne C gibt, Geometrien mit und ohne Parallelenaxiom, soll es auch Topostheorien mit
und ohne CH geben.
Es grüßt,
Ingo