[PhilWeb] Re: Ist der Begriff des Beweises in der Mathematik eindeutig?

Hi RF, mir ist nicht klar, worauf Du eigentlich hinaus willst. Die „Lehre des Begriffes“ gehört jedenfalls nicht zur Mathematik, sondern zur Philosophie. Was sollen zudem historische Betrachtungen, wenn es um ein systematisches Problem geht? Ich hatte doch wiederholt auf die historisch-faktische Genese verwiesen, die ebenfalls zur Philosophie und nicht zur Mathematik gehört. Beginnen wir also mit den Lösungsversuchen der Grundlagenkrise in der Mathematik. Hilbert schlug dafür (in vager Analogie zur Metaphysik) so etwas wie „Metamathematik" vor. Wie Lorenzen in seiner „Meta-Mathematik" einleitend hervorhebt, ist damit eine konstruktive mathematische Theorie gemeint, „die die gesamte Mathematik, soweit sie als eine axiomatische vorliegt, zum Gegenstand hat.“ Im Anschluss an das Problem der Widerspruchsfreiheit der Analysis lief das Vorhaben dann unverhofft auf die Frage nach dem Verhältnis von konstruktiver und axiomatischer Arithmetik hinaus. Die Metamathematik wurde damit zu einer Mathematik der Metatheorien. Lorenzen gliedert seine Meta-Mathematik in folgende Kapitel: „I. Formalisierung der Logik. II. Formalisierung der Arithmetik. III. Arithmetisierung der Formalismen. IV. Entscheidbarkeit axiomatischer Theorien." Was in der formalen Logik als Beweis gilt, wird also zur Grundlage der gesamten Mathematik genommen. Wesentlich dabei ist die Widerspruchsfreiheit, weniger wichtig, ob es sich um eine syntaktische oder dialogische Logik handelt. Dabei dient Lorenzen als Fundament nicht die natürliche Sprache, sondern allein die konstruktive Mathematik. An meine Studienzeit zurückdenkend, befassten sich die Studierenden im Anschluss an eine zweistündige Unterweisung in (klassischer) formaler Logik nicht mit Begriffen, sondern bemühten sich darum, Beweise für die gesellten Aufgaben zu finden. Spezialvorlesungen über mathematische Logik ebenso wie über philosophische Logik (bei den Philosophen) hörten nur wenige Mathe-Studis — und wenn, handelte es sich zumeist um Lehramtsstudierende. Ich hatte mich schon während meines vorangegangenen Ingenieur-Studiums mit Lorenzens meth.-konstr. Philosophie beschäftigt. Hinsichtlich eines soliden Fundaments der Mathematik halte ich mich an die konstr. Mathematik, die nicht nur in der Lebenswelt hinreicht, sondern auch weitgehend der Naturwissenschaft genügt. Die im Anschluss an Hilbert von Schütte auf den Weg gebrachte Beweistheorie tastet sich nach Schroeder-Heister „nur langsam an die wirklichen Probleme heran. Andererseits muss man der Beweistheorie zugute halten, dass sie überhaupt erst einmal einen prazisen syntaktischen Begriff von ‚Beweis' entwickelt hat, in dem sich konkrete mathematische Beweise formulieren lassen.“ Siehe dazu "Die Grundlagen mathematischer Beweise. Philosophisch-logische Überlegungen“ in der Liste unter: https://uni-tuebingen.de/fakultaeten/mathematisch-naturwissenschaftliche-fa… IT