Am 09.11.19 um 20:46 schrieb Rat Frag via Philweb: Rf: Ist Unendlichkeit endlich darstellbar? Welch gelungenes Thema, insbesondere unter dem Aspekt gesehen, dass darüber bereits unendlich viel nachgedacht, diskutiert und geschrieben wurde! Will man sich also, durch diesen schönen Denkanstoß ermuntert, (wieder einmal)  in diese Thematik stürzen, ergibt sich zunächst die Frage, was man unter Unendlichkeit verstehen kann, bzw. welche diesbezügliche Begriffsdefinitionen bereits existieren. Dabei stelle ich für mich fest, wie einerseits „eingefahren“  meine Vorstellung von Endlichkeit und Unendlichkeit, bezogen auf weit zurückliegende Lernphasen und anderseits zerfahren diese im Kontext alltäglicher (immerhin durchaus als seriös zu wertende) Medienbeeinflussung  sind. Auf‘s Neue die Begrifflichkeit dieser Thematik zu rekapitulieren, führt glücklicherweise zu durchaus erweiterter Sicht darauf, beginnend mit antiken Vorstellungen, etwa Zenons Paradoxon vom Wettrennen des Achilles mit der Schildkröte.  Nach heutigem (mathematischen) Verständnis der Zusammenhänge verlieren bzw. verändern sie ihre Bedeutung, zeigen aber nach wie vor deutlich die Fallen auf, in die menschliches Denken geraten kann. Zenon hat (Verwirrung stiftend) nichts weiter als - gedanklich - eine endliche Strecke unendlich oft geteilt. Mathematisch bilden die Zeitintervalle eine unendliche Reihe, die konvergent ist und damit eine endliche Summe besitzt: nach 11, 1 Sekunden erreicht Achilles die Schildkröte. Ebenso abstrakt ist Aristoteles‘  Vorstellung von Unendlichkeit, die sich aber dennoch, zumindest in Anlehnung an seiner Begriffsdefinition von aktualer und potentieller Unendlichkeit, bis heute etabliert hat und dabei immer noch für reichlich akademischen Disput sorgt. Doch womöglich ist die von Menschen gedachte „Unendlichkeit“ letztlich „nur“ Fiktion ist, ein von ihnen geschaffenes „Denk-Konstrukt“, um damit gedanklich in eine letztlich immerwährende „Existenz“ vorzudringen zu wollen. Lebenspraktisch ist dieses Konstrukt (in ihren verschiedensten Ausformungen) absolut hilfreich und damit sinnvoll: Zuvorderst in der Mathematik, von Archimedes angefangen bis in die heutige Chaosforschung reichend. Weit vor derartig philosophischen Überlegungen war es wohl für Menschen essentiell bedeutsam, den Umgang mit Zahlensymbolik zu entwickeln (etwa die mit Keilschrift eingemeißelten Strichmuster in Tonplatten zur Zählung von Tauschgütern). Mit dem Zählen von Dingen wird man die Möglichkeit zur Bildung einer Reihe natürlicher Zahlen erkannt und darüber hinaus zu dieser Zahlenfolge ein Bildungsgesetz entwickelt haben: a_n = 1 + 2(n − 1). Das war dann eine „Urform“ von Symbol-Manipulation, die zum Erkennen unendlicher Mengen und deren Gesetzmäßigkeit hingeführt hat. Der Mensch als „animal symbolicum“, wie Cassirer es ausdrückt: Sinnstiftung durch Schaffen und Verwenden von Symbolen; Symbolisierung zur Vermittlung von Sinnlichem wie auch Geistigem. Aristoteles‘ Unterscheidung zwischen dem „Potentiell Unendlichen“ und dem „aktual Unendlichen“ bezieht sich auf das Grenzgebiet zwischen Philosophie und Mathematik, beschränkt sich auf den Umgang mit ausschließlich sinnlichen Dingen und Gegenständen; etwas Ganzes im abgeschlossenen Sinne eines Unendlichen erkennt Aristoteles nicht an und schreibt seiner Vorstellung von potentieller Unendlichkeit lediglich logische Relevanz zu: Menschliches Denken, welches schlechthin auf Raum Zeit begrenzt ist, könne nur in Teile des Kosmos und niemals in ein angenommen unendlich Ganzes eindringen. Dem kann und muss man zustimmen, was aber sicherlich nicht ausschließt, dass ein unendlich (oder eher zutreffend), grenzenlos Ganzes (im abgeschlossenen Sinn) existiert. Der zumeist religiös angenommene Bezug auf Unendlichkeit wird mit dem Begriff Ewigkeit beschrieben; definiert als „infinitas“, einer vollkommenen Wirklichkeit (Absolutheit) also, der, solchermaßen unendlich optimiert, keine darüber hinausgehende Möglichkeit mehr hinzukommen kann.  Dieser tatsächlichen, aktualen Unendlichkeit steht die Endlichkeit unseres Daseins gegenüber mit ihrer (sinnvollerweise) per se bestehenden Beschränkung menschlichen Erkennungsvermögens, da Allwissenheit jegliches irdische Menschsein unmöglich sein ließe. Im Wissen um diese Beschränktheit halten Befürworter potentieller Unendlichkeit (in Bezug auf Mathematik) daran fest, einer Zahlenmenge zwar unendlich viele Elemente natürlicher Zahlen hinzufügen zu können, die Gesamtheit einer allumfassenden (unendlichen) Menge jedoch nicht erfassbar sei und damit lediglich potentiell existiert. Man lehnt es ab, unendliche Mengen (z.B. die Menge aller natürlichen Zahlen N), als eigenständig existierende mathematische Objekte anzuerkennen. Dieser Ansicht steht m.E. kein logisches Argument entgegen, stellt aber doch nur ein abstraktes weltanschauliches Denkmodell dar. Ebenso abstrakte, wenngleich ungleich nützlichere Denk-Modelle für den lebenspraktischen Umgang mit mathematischen Problemen (von Flächen- Volumen-, Bahnberechnungen bis hin zu chaos-theorischen Modellen z.B. der Meteorologie) haben sich spätestens mit den Arbeiten von Newton, Leipniz (Infinitesimalrechnung), weiterhin Mathematiker wie Bolzano, Weierstraß, Riemann, Dedekind und vor allem Georg Cantor entwickelt. Letzterer ist in aller Munde, wenn es um Mengenlehre geht, die er gegen massiven Widerstand aus der konservativen Wissenschaftswelt und klerikalen Kreisen entworfen hat. Damit implementierte er das aktual Unendliche auf Grundlage der von ihm eingeführten transfiniten (aktual unendlicher) Zahlen in die Mathematik. Und kein Geringerer als Hilbert, drückte seine Anerkennung für diese Leistung folgend aus: "Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können." So wie es derzeit aussieht, kam es bis heute nicht zu  einer Vertreibung. Im Gegenteil: Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel verfassten ein schlüssiges, widerspruchsfreies Axiomsystem als Basis zu Cantors Mengenlehre, wie sie mittlerweile in allen wesentlichen mathematischen Anwendungen zum Tragen kommt. Bezogen auf das angesprochene Primzahlproblem (Frage nach der Gesetzmäßigkeit) kann man mit Euklid annehmen: „Es gibt unendlich viele Primzahlen“ und dieses mit einer zunächst hypothetischen Herleitung unter der Prämisse „es gibt endlich viele Primzahlen“, beweisen: gegeben seien die Primzahlen: p 1 , p 2 , ... , p n  aus denen dann eine Zahl z gebildet wird:  z = p 1 ∙ p 2 ∙ ... ∙ p n + 1. Unter der gesicherten Grundannahme, dass jede natürliche Zahl N > 1 als ein Primzahlprodukt dargestellt und deshalb jede natürliche Zahl N durch zumindest eine Primzahl geteilt werden kann, gilt:  Es gibt zwingend eine Primzahl, die die Zahl z teilt;  z jedoch ist durch keine der Zahlen p ohne Rest (1) teilbar. Diesem Widerspruch zufolge muss die getroffene Prämisse „es gibt endlich viele Primzahlen“ verworfen werden. Demnach muss es unendlich viele (niemals aufzählbare) Primzahlen geben, welche nach Aristoteles‘ Auffassung von potentieller Unendlichkeit nur als Möglichkeit existieren; Man kann das so stehen lassen, doch es bleibt ein Unbehagen. Und dagegen gibt es Abhilfe: In derartigen, rationalem Denken unzugänglichen, Bereich von „Unendlichkeit“ aus menschlicher Perspektive einzudringen, wo Raum und Zeit ihre irdisch relevante Form verlieren, wo das Eine als das Ganze gleichermaßen unendlich klein und unendlich groß sein kann, bedeutet einen irrational-gedanklichen „Grenzübergang“ vornehmen zu müssen. Die letztlich erfolgte Anerkennung von Cantors Mengenlehre ist der Lohn für seinen Mut zu eben diesem Grenzübertritt, der im Ergebnis die gleiche Erkenntnis erbracht hat, wie die (heute meist als Esoterik verschriene) Annahme des Hermes Trismegistos: „Wie im Großen – so im Kleinen“. Das verbindende Agens ist die Form, informationstechnisch heute als „Information“ omnipräsent und doch meist nicht als in ihrer intrinsisch umfassenden Bedeutung erkannt. Solchermaßen für die Mathematik „rehabilitierte“ aktuale Unendlichkeit entspricht der (praktischen) Vorstellung eines existierenden Behältnisses bzw. eines Raumes, in dem sich unendlich viele (beliebige) Elemente befinden. Die Menge dieser Elemente ist von vornherein abgeschlossen und allumfassend. Gemäß Cantor‘scher Definition enthält diese Menge neben Zahlen und Funktionen auch die Gesamtheit mathematischer Sätze, Regeln und Definitionen. Zahlenmengen und Rechengesetze entstehen nicht erst, sie sind von jeher (eben ewig!) existent. Potentielle Unendlichkeit setzt also aktuale Unendlichkeit voraus. Theologisch gesehen, ist das Eine, Ganze (eben das Göttliche) der Ursprung, die Voraussetzung für unendliche mögliche Vielheit. So bildet sich Unendlichkeit im Endlichen ab. Bester Gruß in die Runde! - Karl PS: Es lohnt sich allemal, vom oben erwähnten Denkanstoß beflügelt, weiterhin über die Dinge zwischen Himmel und Erde nachzudenken. Und man kann sicher sein, damit wahrhaftig nicht allein zu sein: /Das Universum ist jedenfalls die Erscheinung des „Unendlichen im Endlichen“. Dabei ist zu beachten, dass nie einzelne Teile des Universums mit der Gottheit gleichgesetzt werden, sondern nur das „Eine“, das alles umfasst. Die Einzeldinge gelten als verschiedene Erscheinungen des Universums. Das „Eine“ ist als eine Art Prinzip hinter den Dingen zu verstehen . (Schleiermacher)// // //„Wenn die Materie ins Unendliche teilbar ist, so enthält sie wirklich eine unendliche Menge von Teilen, ein Unendliches, das real und aktual existiert.“ (Pierre Bayle)// / Dann also doch: /„Nicht wie die Welt ist, ist das Mystische, sondern daß sie ist“ (Wittgenstein - Tractatus)/ / / //

Am Di., 19. Nov. 2019 um 03:35 Uhr schrieb K. Janssen <janssen.kja(a)online.de>de>: Meines Erachtens ist das Beispiel von Zenon in zweifacher Hinsicht interessant: 1.) Zenon zeigt überdeutlich eine Sache auf: Er hat versucht zu argumentieren. Sein (vermutlich von ihn verehrter Lehrer) Parmenides hat so eine Art Frühversion des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten geliefert und eine Art Korrespondesnztheorie entwickelt. Er hat dabei vielleicht sogar unsere Art über Sein oder Nichtsein nachzudenken entscheidend geprägt - siehe den Vergleich zu asiatischen Denkart. Dennoch, bei P. lesen sich diese Erkenntnisse wie Offenbarungen, die aus den Händen eines Gottes empfangen wurden. Das wirkt auf uns heutge Menschen extrem seltsam, aber wenn man sich z. B. die Urtexte des Buddhismus (Pali-Kanon insbesondere, soweit ich sehe auch das Lotos-Sutra) oder die entsprechenden Texte des Alten Testamentes. Z. kommt nun der Ruhm zu, dass er es nicht einfach dabei belassen hat, sondern sich ein Argument für die Lehre seines Lehrers ausgedacht hat. Bewegung ist unmöglich, weil der Begriff zu unauflöslichen Aporien führt. 2.) Zenons Rätsel wurde nach JAHRHUNDERTEN durch die Entwicklung der europäischen Mathematik endlich geknackt. Wobei auch schon die moderne Physik eine annehmbare Antwort bereithält. Das lässt meines Erachtens Hoffnung bestehen, dass auch andere unlösbar scheinende Rätsel irgendwann geknackt werden. Hierzu vielleicht eine kleine Anmerkung: Meines Erachtens ist die Trennung zwischen Mathematik und Philosophie sowieso nicht so kategorisch, ebenso die Trennung zu Physik. Letztlich dient das nur der pragmatischen Orientierung, weil eben viele Physiker keine Lust haben, sich lange mit Erkenntniskritik aufzuhalten, während Philosophen sich bei mathematischen Details wohl eher langweilen. Es gibt zwei Probleme mit dieser Ansicht. Erstens wie gehst du mit einem Intervall wie [0;1] um? Man kann, wittgensteinisch, argumentieren, dass wir die unendlich viele Zahlen zwischen 0 und 1 überhaupt erst konstruieren. Sie quasi erfinden statt entdecken. Das führt aber ebenfalls zu gewissen Problemen. Zweitens, diese Ansicht widerspricht stark der Intuition, mit eine Art platonischen Gegenstand zu arbeiten. Cantors Ideen widersprechen, zumindest scheinbar, zwei sehr grundlegenden Annahmen, die bis dahin mehr oder weniger selbstverständlich geglaubt wurden, das sog. Archimedische Prinzip und der Inexistenz des aktual Unendlichen. Ersteres sagt aus, dass ein Teil kleiner als die Gesamtheit sein muss. Das trifft aber nicht zu, der Inhalt von [0;1] enthält genauso viele Zahlen wie ganz IR. Sogar mehr Zahlen als IN. Die heute "orthodoxe Lehre" (ja, ich habe eine Vorliebe für solche Beschreibungen) geht davon aus, dass diese beiden Annahmen eben falsch sind. Einige andere Leute suchen dagegen Fehler in Cantors Methode zu entdecken. Und Planck? P.S.: Ich möchte mich entschuldigen. Mein Text weiter oben ist ein "Schnellschuss" ohne nochmaliges Lesen und tieferen nachdenkens. Er enthält einige unschöne Fehler und entbehrt jeder Tiefe. Allerdings ist ja gar nicht klar, ob ich bei längeren Nachdenken etwas intelligenteres geschaffen hätte, also ist es wohl das Beste, was ich beitragen kann. Immerhin, die Diskussion halte ich am Leben, oder?

Am 25.11.19 um 19:46 schrieb Rat Frag: Offen gesagt, sollte ich mich bei meinem glücklicherweise auf logisch-rationale Ingenieurmathematik begrenzten Abstraktionsvermögen nicht in diese Uferlosigkeit mathematischer Grenzbetrachtungen wagen, um mich letztlich dort zu verlieren oder gar „abzusaufen“. Cantor hat Zeit seines Lebens verzweifelt nach dieser Lösung gesucht und auch eine gefunden bzw. eine Lösung als Hypothese postuliert, ist u.a. daran psycho-somatisch zerbrochen. Andere (Goedel, Cohen) haben gezeigt, dass Cantors Kontinuumshypothese mit den „Werkzeugen“ der axiomatischen Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ( ZFC-A) weder zu widerlegen noch zu beweisen ist. Erstaunlich, wenn nicht sogar erschreckend ist, dass sich viele dieser zu gedanklicher Höchstleistung befähigten Genies (in nahezu allen Gebieten der Wissenschaft) im Zwiespalt zwischen vermeintlicher Dualität von Geist-Körperlichkeit, resp. Unendlich-Endlichkeit aufgerieben haben. Und im übertragenen Sinn könnte man daraus den Sinn spirituell - religiös tradierter Tabus erschließen, wonach der Versuch, nach dem Absoluten, nach einem „Allerheiligsten“ (Bundeslade) zu greifen, mit dem Tod bestraft wird. Diesbezüglich beruhigt sein können jene, die sich dieser irdischen Beschränkung bewusst sind und sich mit menschenmöglicher Sicht auf „Abbilder“ (wenngleich meist nur virtuell mikro- wie makrokosmisch vollziehbar) konzentrieren. Entscheidende Fortschritte dabei, sowohl im mathematisch logischen, wie auch im analytisch philosophischen Denken scheinen sich bei der Suche nach Mustern zu ergeben. So offenbar auch Cantors Nachweis der gleichgroßen Menge von Punkten auf der Strecke [0...1] wie der Punkte auf einem Quadrat mit Seitenlänge 1, den er gedanklich nicht hinnehmen wollte: „Ich sehe es, aber ich glaube es nicht“. Womöglich stand dies im Zusammenhang mit seiner tiefen Religiosität, aus der heraus weitere (deutlich weniger populäre)  Postulate aufstellte, wonach er das Aktual-Unendliche in seiner absoluten Ausprägung in Gott, in konkreter Form in der Schöpfung sowie in seiner abstrakten Darstellung in der Mathematik sah. Hingegen er in Aristoteles‘ potentieller Unendlichkeit keine Menge sondern lediglich eine Eigenschaft aktual unendlicher Mengen erkennen konnte und mit dieser Sichtweise ausdrücken wollte, dass jede endliche Teilmenge ebenso echte Teilmenge einer weiteren endlichen Teilmenge ist. Für mich ist o.a. Eigenschaftsbegriff wesentlich. Vor allem auch in Anlehnung an Poincare : "[...] Für die einen fließt das Unendliche aus dem Endlichen, für sie gibt es eine Unendlichkeit, weil es eine unbegrenzte Zahl begrenzter möglicher Dinge gibt. Für die anderen besteht das Unendliche vor dem Endlichen, indem das Endliche sich als kleiner Ausschnitt aus dem Unendlichen darstellt." Ich zähle zu den „anderen“ und denke, dass jeweils Endliches  im Unendlichen erwächst, sich darin nach dessen Gesetzmäßigkeit (gemäß deren Eigenschaft), also gewissermaßen qualitativ bijektiv abbildet und selbstredend darin wieder endet. Endliches setzt Unendlichkeit voraus wie jegliches Teil sein (in umfassendes) Ganzes voraussetzt. Damit sehe ich Euklid‘s Satz (Das Ganze ist größer als der Teil) nicht verletzt. Den irdisch endlichen Teil als Abbild eines angenommenen Ganzen aus philosophisch bzw. theologischer Sicht zu sehen, hat historische Tradition, die sich m.E. durch diesbezüglich wesentliche Aussagen bedeutender Denker (u.a. Aquinus, Cusanus, Bruno, Spinoza) ausdrückt. Mit meiner Affinität zum Informationsbegriff liegt mir jene des Cusanus nahe, wonach die Natur gemäß göttlicher Vorstellung geformt wurde und somit dieser seine ureigene Unendlichkeit auf diese übertragen hat. Selbstredend sieht er allein im Glauben Zugang zum Unendlichen - und damit der Teilhabe daran - durch die dem Menschen innewohnende Gegenwart Gottes. Für mein Teil glaube ich eher daran (vor allem im Blick auf diese Lebenswelt), dass diese Teilhabe nicht per se stattfindet, sondern sich nur nur durch entsprechenden Austausch mit jener angenommenen Göttlichkeit vollziehen kann, durch ein intuitives „sich-öffnen“ oder technisch ausgedrückt „in Resonanz treten“. Zu Wittgenstein möchte ich mich in diesem Zusammenhang auf zwei seiner Positionen im Tractatus beziehen: […] Wenn man unter Ewigkeit nicht unendliche Zeitdauer, sondern Unzeitlichkeit versteht, dann lebt der ewig, der in der Gegenwart lebt. Unser Leben ist ebenso endlos, wie unser Gesichtsfeld grenzenlos ist (6.4311). Die zeitliche Unsterblichkeit der Seele des Menschen, das heißt also ihr ewiges Fortleben auch nach dem Tode, ist nicht nur auf keine Weise verbürgt, sondern vor allem leistet diese Annahme gar nicht das, was man immer mit ihr erreichen wollte. Wird denn dadurch ein Rätsel gelöst, dass ich ewig fortlebe? Ist denn dieses ewige Leben dann nicht ebenso rätselhaft wie das gegenwärtige? Die Lösung des Rätsels des Lebens in Raum und Zeit liegt außerhalb von Raum und Zeit (6.4312 ) Alle diese Betrachtungen lassen mich vermuten wenn nicht sogar gewiss sein, dass die Annahme eines vollkommen Ganzes zurecht besteht, in dem sich restlos alle Information, alle Gesetzmäßigkeiten seit jeher und in alle Ewigkeit befinden. Einzige Möglichkeiten des Menschen, sich dieser Ganzheit (wenngleich sinnvollerweise begrenzt) zu nähern bzw. sich ihr zu öffnen, bestehen zum einen über die Logik der uns hinreichend verfügbaren Sprache der Mathematik (als eben die Sprache der Natur, wie letztlich auch der Philosophie) und zum anderen intuitiv über den Glauben (Sprung in den Glauben, wie Wittgenstein es ausdrückt). Ach ja, zu Blanck! Sicher ein Thema für sich, also komme ich später darauf zurück. und noch zu Deinem o.a.  Bezug auf den Buddhismus: die Urtexte des Buddhismus (Pali-Kanon insbesondere, soweit ich sehe auch das Lotos-Sutra) oder die entsprechenden Texte des Alten Testamentes. findet sich im Kontext unseres Themas ein dem Budda zugeschriebenes Zitat (welches keiner sprachlichen Übersetzung aber durchaus des darüber Nachdenkens bedarf): "There is an Unborn, Unoriginated, Uncreated, Unformed. If there were not this Unborn, this Unoriginated, this Uncreated, this Unformed, escape from the world of the born, the originated, the created, the formed would not be possible." Bester Gruß an Dich und in die Runde! - Karl

Am Sa., 16. Nov. 2019 um 17:21 Uhr schrieb Claus Zimmermann <mail(a)clauszimmermann.de>de>: Danke! Da sind wir wohl wieder bei Kant mit seinen Antinomien. Theoretisch kannst du das. Aber dann würde es irgendwo das Buch noch mal in der Bibliothek geben, einmal als erster Band und dann als zweiter Band, mit exakt deinen Zusatz. Man könnte gewisse Symbole als mathematische Zeichen interpretieren. Wenn du tausend Bücher willkürlich aus den Bücherschrank greifst und in einem steht plötzlich der Satz "Hallo Claus, dy hazt mikh gefunden". Alle anderen sind nur blanker Unsinn, dann hast du offenbar eine Nachricht für dich, selbst wenn nur der Zufall einen kaufen Buchstaben so angeordnet hat. Und es gibt irgendwo genau dieses Buch noch mal, nur ohne Rechtschreibfehler.